2024年 有馬中前期中間テスト 難問解説

テストまで可能な限り毎日掲載予定

今日は有馬中１年の2024年度の過去問の解説を載せます。

去年見た時に、「良い問題作ったな」と感心しました。

問　次の式が成り立つように〇に計算記号「＋　－　×　÷」いずれかを当てはめなさい。

なお同じ記号を当てはめてもかまいません。

6〇（-5〇4）〇3〇2＝1

解説

この問題のやりにくさは（-5〇4）です。

さて数学で大事な技術は「仮定すること」

この厄介な（-5〇4）を解消してしまいましょう

「+　-　×　÷」の４つのパターンが考えられます

①（-5+4）＝-1

つまり

6〇（-1）〇3〇2＝1

ちょっとだけ技使いますね。

偶数2つ、奇数2つと言う事は加減法だけでは絶対に奇数になってしまいます。

遇+遇＝遇　/　奇+奇＝遇　/　遇+奇＝奇

つまりどこかに×か÷を使う必要があります。

ⅰ）6×（-1）〇3〇2

これは正の数にはならないですね。

ⅱ）6〇（-1）×3〇2

6〇（-3）〇2

ここまで短くすれば答えは見えますね。

6+（-3）-2＝1

ということで6+（-5+4）×3-2＝1　答え

ⅲ）6〇（-1）〇3×2

6〇（-1）〇6

やはり３項なら簡単に答えは見えます。

6-（-1）-6＝1

ということで6-（-5+4）-3×2＝1　答え

ⅳ）÷と分数になってしまうため、÷が入る可能性は1つ

6÷（-1）〇3〇2

-6〇3〇2でⅰ）同様の形になるため不可

②（-5-4）＝-9

つまり6〇（-9）〇3〇2

①同様に偶数が2つ、奇数が２つなのでどこかで×、÷を使う必要があります。

ⅰ）6×（-9）〇3〇2

-54〇3〇2

で１にならない

ⅱ）6〇（-9）×3〇2

6〇（-27）〇2

で1にならない

ⅲ）6〇（-9）〇3×2

6〇（-9）〇6

で1にならない

ⅳ）÷の場合分数にならないのは1通り

6〇（-9）÷3〇2

6〇（-3）〇2

6+（-3）-2＝1

ということで6+（-4-5）÷3-2＝1　答え

③（-4×5）＝-20

つまり6〇-20〇3〇2

解は無いですね。

④（-4÷5）＝-4/5

残りの数に5を因数に持つものは無いため解は無い

ということで３通りのどれでも正解でしょう。

テストでは1つ書けばいいので偶然見つかった生徒も多いと思います。

正直論理的に解かなくても、〇に一つ何か計算記号を入れてみて、そこから考えれば解けます。

要するに「仮定する」事ができた子は解けますね。

私はこの問題はかなり好きです。良い問題ですね。

2024年 宮崎中前期中間テスト過去問 難問解説

公立中学校が定期テスト月に９なりましたね。

本日は宮崎中2年生の2024年度の難問解説をしていきます。

まったく同じではなく、少しアレンジしていますよ～

ちなみにこの問題2023年度に有馬中学校でも出題のあった問題です。

問題(宮崎中２年前期中間テスト　改）

けんたさんは体育祭でトラックを引く掛になった。

直線部分の距離をaメートル、曲線部分はそれぞれが半円となるように作り、最も内側のコースの半径がｂメートルとなるように作り、各コースは幅を１メートルとする。

コースは5レーンまで作る。最も内側のコースを第1レーンとして、外側に向かって第２レーン、第3レーン…そして一番外側を第5レーンとする。ラインの幅は考えないものとして、円周率をπとして次の問に答えなさい

（1）第1レーンの内側のライン１周の距離をlとして、ｌをaとbを使って表しなさい

（2）すべてのレーンのゴールラインを同じにするならば、第２レーンのスタートの位置は第1レーンのスタート位置よりどれだけ後ろに引けばよいか。ただし走者はレーンの中央を走ると仮定し、スタート位置は直線部分に引き、ゴールは２つの曲線部を走りきった後の直線部分に作るとする。また、すべてのレーンはスタートからゴールまで距離が等しいとする。

解説

（1）は基本問題ですね。

図をこういう風にばらしましょう

半径ｂの円と長さaの直線が２本

つまりｌ＝2πｂ+2a

（2）

これは情報をしっかり整理数る必要がありますね。

まずは第1レーンの１周分の長さを求めてみます。

中央を描く円を考え、そこに直線部分2aを足しましょう。

（1）のｂよりさらに0.5だけ半径が長くなるため

ｌ₁＝2π（ｂ+0.5）+2a

では同様に第2レーン１周分について考えます

（1）のｂよりさらに1.5だけ半径が長くなるため

ｌ₂＝2π（ｂ+1.5）+2a

同じ位置からスタートして一周すると第1レーンと第2レーンではｌ₂-ｌ₁＝2πとなる。

この差は２つの曲線部の差であることがわかる。

つまり２つの曲線部を走りきった後の直線部分にゴールを作った場合、どこにゴールを作っても差は変わらないのです。

ということで第2レーンは第1レーンより2πだけ後ろにスタート位置を引けばよいです。

ちなみに宮崎中の問題は学校の先生のオリジナル問題だったために、問題が壊れてました。

この問題は２つの曲線部分を完全に通過しないと差が2πにならないのですが、宮崎中の問題文には「スタートの位置」「ゴールの位置」の条件が無いため、場合によってはトラック半周でゴールしているかもしれません。そうなると差はπですよね。

良い問題でしたがもったいない。この問題は頭のいい子ほど、この条件不足に気が付き、分らなくなってしまいます。

なので私は条件を追加した形で「改」として掲載させていただきました。