どの公式を使うの？

昨日高校2年生の数学の授業をしていました。

その子、超優秀で「宿題は出来てるんだけど、結構適当に公式使っちゃった」

と自己申告。そりゃいい成績とるわけだわ。

こういう子はいいのですが、適当に公式を使て正解したことを「できた！」と思う子は危険ですね。

で、その子からの質問が「どの場合にどの公式を使えばいいですか？」というものでした。

実はこの子、私の授業を受け始めて3回目。

私の返答に少し困惑してましたが、授業後に納得してくれてよかった。

私の返答がどうだったかというと

「公式を使わなければ、どの公式を使うかわかるようになるよ」です。

禅問答みたいですね。笑。

実はそんなことは無いんです。本当に公式を使わなければ、どの公式を使うかわかるんです。

では実際の授業解説を書きます。

問題　半径√10で中心が（0,0）の円に点P（5,5）から引いた接線の式を求めなさい。

まずは作図。

赤い線を求めるのが問題。

接点を（X₁、Ｙ₁）として

「円の接線を見たら中心を通る垂線を引く」

これは数学における脊髄反射にしましょう。

ということで緑の線は引けました。

緑の線は（0、0）を通るから比例のグラフ。

接点（Ｘ₁、Ｙ₁）を通るのでｙ＝（Ｙ₁/Ｘ₁）X

注）本当は傾きに（　）は要りませんが、見難いのでつけました。

緑の線と赤い線は垂直に交わるので、赤い線の傾きは－Ｘ₁/Ｙ₁

赤い直線の式はｙ＝（-Ｘ₁/Ｙ₁）x+b…①

この直線が（Ｘ₁、Ｙ₁）を通るので、代入して

Y₁＝（-Ｘ₁/Ｙ₁）Ｘ₁+b

b＝Ｙ₁-（-Ｘ₁/Ｙ₁）Ｘ₁

　＝{（Ｙ₁）²+（Ｘ₁）²}/Ｙ₁

三平方の定理より（Ｙ₁）²+（X₁）²＝10

したがってｂ＝10/Ｙ₁

これを①式に代入して

ｙ＝（-Ｘ₁/Ｙ₁）Ｘ+10/Ｙ₁

両辺にＹ₁をかけると

ｙＹ₁＝-xＸ₁+10

xＸ₁+yＹ₁＝10…②

この直線は（5,5）を通るので

5Ｘ₁+5Ｙ₁＝10

Ｘ₁＝2-Ｙ₁…③

また（Ｘ1、Ｙ₁）は円上の点なので

（Ｘ₁）²+（Ｙ₁）²＝10…④

③④を連立すると

（2-Ｙ₁）²+（Ｙ₁）²＝10

2（Ｙ₁）²－4（Ｙ₁）-6＝0

（Ｙ₁）²-2（Ｙ₁）-3＝0

（Ｙ₁－3)(Ｙ₁+1）＝0

Ｙ1＝3、－1

これを③式に代入して対応するＸ₁を求めます。

したがって接点（Ｘ₁、Ｙ₁）は（3、-1）と（-1、3）

この点を②式に代入して

3x-ｙ＝10

-ｘ+3Ｙ＝10

これで終了です。

優秀な子はお気づきでしょう！

赤字で書いた部分が公式x₁X+y₁ｙ＝ｒ²の公式の導き方になっています。

つまり、公式を知っている子は赤い部分を省略できます。

言い換えれば、公式を使わずにずっとこの解き方で練習している子は、いつか気が付くことですが

「結局いつもx₁x+y₁y＝r²になるから、ここは公式化してしまおう」という事です。

こうして、公式を使わないことによって、どの公式を使えばいいかが分るようになります。

勉強のアプローチが真逆なんですよ。

公式を使うことによって問題を解くのではなく

問題を解いている時にルールに気が付いてそこを公式化する

この違いに気が付かない限りは「先生、どの公式使えばいいかわからない」の状態はずっと続きます。

単元が分らない模試や大学入試では、さらに「どの公式を使えばいいかわかりません」

だからこそ、あえて公式を使わない練習が必要なのです。