神奈川県 公立高校入試 数学①

今朝はちょっと早めに出勤して入試問題を解いてました。

全体的には例年と変わらないか、数学が易しかった分若干易化したのかな～ってイメージです。

その中でも例年正答率は5％を下回る問6（ウ）の解説をしていきます。

今年の問題も例年通りの攻略方法でOKです。

「空間図形は平面図形で考える」

さて、では行ってみましょう。

（ア）はすでに何度も出題されていて見飽きた問題なので、計算のみ書いていきます。

側面の母線の長さが10

底面の半径が4

つまり側面は中心角が2/5（144°）の扇形

側面積10×10×π×2/5＝40π

低面積4×4×π＝16π

したがって56π

（イ）は図形慣れしてないと解けないかな。問6で一番難しい。

まずはこの様に求めるべきDEを含む平面を見つけます。

CE＝CBの二等辺三角形ですね。

では不明なEBを求めるために、底面を見ていきます。

問題に∠AOE＝60とあるので『特別な直角三角形の比』を利用する

そう考えると、この様な作図になりますね。

OE＝4なのでEH＝2√3

EB＝4√3

つぎに二等辺三角形CABでEDを求めるためには直角三角形が必要になります。

ということで直角三角形EDJを作図。

これでEJとDJが分れば三平方の定理でクリアです。

CD:DB＝1：1も問題文にあるため比があるなら「平行線と線分比」

DJに平行な直線を頂点Cから引くと以下の図になります。

まずはEJ

CD:DB=1:1よりIJ：JB＝1：1

三角形CEBは二等辺三角形なのでEB=IB

つまりEI：IJ:JB=2:1:1

EJ:JB=3:1

EJ＝EB×3/4＝3√3

つぎにDJ

平行線と線分比より2DJ＝CI

なのでCIを求めます。

直角三角形CEIで三平方の定理

CI²＝10²-（2√3）²

  　＝100-12

　  =88

CI＝2√22

つまりDJ=√22

これで準備完了

直角三角形EDJで

ED²＝DJ²+EJ²

　   =（3√3）²+（√22）²

　   =27+22

　　=49

ED＝7

（ウ）はかなり簡単でした。

ポイントは「中心角の大きさは扇形の弧の長さに比例する」

側面はこんな図になります。

側面の中心角は144°

底面の中心角300°の扇形を考えると、この扇形の弧の長さ＝EA'＝8π×5/6

∠ECA'は扇形ECA’の弧の長さの式は10×2×π×中心角/360

この二つの長さは等しいので

10×2×π×中心角/360＝8×π×5/6

中心角＝120°

これで三角形CEFは∠ECFが120°の三角形。

あとは120°が見えたので、60°を利用した直角三角形を作図すること。

二等辺三角形なら120度を60°と60°に分けたいけど、そうもいきませんね。

ってことで思いつくのは180-120＝60°つまりは120°の外角側に60°の直角三角形の作図です。

直角三角形ECKでEC＝10なのでCK=5、EK＝5√3

ゆえにFK＝10

直角三角形EFKで三平方の定理より

EF²＝FK²+EK²

     ＝10²+（5√3）²

     ＝100+175

　  =175

EF＝5√7

実は（ウ）の作図は余弦定理の使用回避方法で数日前に私がこのブログで書いたものです。

去年の夏に数検準２級を受験した子が、入試後早速教室に来て、「先生が数学検定で教えてくれた作図、でたよ！」って興奮気味に言ってくれました。

これを、「予習になるけど、余弦定理ってのがあってね」って指導してたら、この子はどうなてたことやら。

今、中１、中２が定期テスト前であまり時間が無いため、今日は問6だけにしておきます。

また小出しに難問の解説を載せますね。