2022年度神奈川県入試数学問3（エ）

今年の入試で最も難しかった問題ではないでしょうか。

一見ハードでしたが、ちゃんと求めたいものにフォーカスすれば解けますね。

ひとまず、出版社が出す前に、2通りの解き方を載せておきます。

これが個別ゼミWILL鷺沼校の数学指導の秘訣ですが、常に複数解答を持っておくこと。

私は「持たせる」指導を常に心がけています。

最終的に大学受験で勝つためには必須のスキルになります。

今日の解説は問題3（エ）

問題文は神奈川新聞さんのサイトでご覧ください

https://www.kanaloco.jp/news/social/article-822651.html

ではまず、この問題の急所から

この思考プロセスが最も大事なので覚えておいてください。

三角形BDFの面積を求める

↓

三角形BDAの面積を1/3にする

↓

三角形BDAの面積を求めるために直交する辺ADと辺BDを求める

↓

辺AD＝√13で辺BDは求める事が出来ないため、辺BDを求めるために辺ABを求める

↓

辺ABを求めるために辺BCを求める

はい、これで思考プロセス終了。この問題は辺BCを求める問題なんです！

では、ここから分岐。

補助線を入れますが、セオリーとしては、すでにある辺の平行線を引きます。

では、これでどうでしょう。あとはひたすら三平方の定理を解きまくります。

AC//BGです。

ここでＢＣ＝Ｘとして

三角形BDGに注目して

BC＝EG、ED=3より

DG＝3－Ｘ　GB＝1なので三平方の定理より

DB²＝（3-Ｘ）²+1²

　　＝9-6Ｘ+Ｘ²+1

　　＝Ｘ²-6Ｘ+10

三角形ABDに注目して、三平方の定理より

AB²＝AD²+DB²

　　＝13+（Ｘ²-6X+10）

　　＝Ｘ²-6Ｘ+23

三角形ABCに注目して、三平方の定理より

AB²＝AC²+CB²

　　＝9+Ｘ²

∴Ｘ²-6Ｘ+23＝Ｘ²+9

　-6X＝-14

　　Ｘ＝7/3

あとは思考プロセスを逆戻り

AB²＝9+49/9＝130/9

BD²＝130/9-13＝13/9

BD＝√13/3

三角形ABDの面積は√13×√13/3÷2＝13/6

三角形BDFの面積は13/6×1/3＝13/18（答え）

そして別解

こちらはあまりいい解ではないです。

私は方べきの定理を知っているからこの形を作りましたが、はっきり言って作図根拠に欠ける。

図のように線を延長すると三角形AEDと三角形BDGは相似になります。

これってかなり無理やりですよね。汗

AE:ED＝BG：GDより

2：3＝Ｘ：1

Ｘ＝2/3

∴CB =3-2/3＝7/3

あとは同じ解き方です。

【追記】

なぜ最初の解法の方が優れているのかの説明です。

別解に「作図の根拠がない」と書きましたが、私も色々やった結果できた図です。

根本には3つの辺の長さがわかっている三角形AEDと相似になり、かつ辺BDを含む三角形を探す過程でできました。

一方先にあげた解ですが、BC＝Ｘと置いた瞬間から

①等式を作ってＸを求める

②2つの直角三角形が共有する辺ABでそれぞれの三平方の定理から等式を作る

③DBをＸを使って表す（AD=√13なので）

④三角形DFBは直角三角形ではないし相似の三角形も存在しない

この4点に於いて、BDを含む直角三角形を作る補助線を引くことが確定して、ここから2択で

「頂点Dから辺FBに垂線を引く」または「頂点Ｂから辺DFに垂線を引く」しかないのです。

そして「頂点Dから辺FBに補助線を引く」と三角形AEFとの相似は見えますが、辺EFと辺AFが長さ不明なため難しくなりそうな上、目当てのDBを含まない方の直角三角形なので、一旦優先は「頂点Bから辺DFに垂線を引く」方に決まる。

と論理立てて必然的にこの作図にたどり着くのです。

私は答えありきの解説はとても嫌いです。それは生徒の力にならない、場合によっては生徒の学習を「暗記」へ傾けてしまい、学力を低下させる。

そういった根拠から別解をあまり推奨してません。

ちなみに高校生であれば話は違ってきます。方べきの定理の証明を知っているため、即座にこの相似形を思いつくことができます。

公立中テスト対策

来週は公立高校の入試もありますが、公立の中１と中２は学年末テストもありますね。

学年末試験は英語と数学が大体の学校で今まで学習した内容となります。

しかし、概ね6割～7割は後期中間テスト後に倣った範囲になるため、そこを厚めに学習しましょう。

個人的な意見ですが、たまに社会の範囲を１年間の範囲とする学校があります。

あえてこのタイミングで書くって事は、鷺沼校の通塾エリアの学校にそれをやってるところがあるという事です。笑。

正直、先生から生徒への愛を感じない。

ただ範囲を広くすればいいって解釈は先生としても技量不足。

なぜなら、それをやってしまうと、後期中間～学年末で習った範囲の学習の掘り下げが浅くなるからです。

大抵の生徒はテスト前にその部分を掘り下げます。

しかし全範囲になるとそこに復習も入るため、一部分だけ浅くなります。

そして何より、テストって生徒を選別する道具ではないんです。

生徒に「努力→結果」「失敗→反省」の成長の機会を与えるためのツールなんです。

腕の無い塾の先生はテスト範囲を広くしたり、沢山宿題を出せば生徒の成績は伸びると考えてます。

私は学生時代、そういう先生は嫌いでしたね。

「教育」って部分を考えてないですよね。

教えるから教育でもないですよ。

抽象的な表現でいえば「熱を伝える」

私は常に生徒より頑張っていたい。一緒に伴走したい。

高いところから指示だけを出すダサい先生にはなりたくないですね。

先生って常に教える側だから「偉くなってしまう」んです。

偉くなって口だけの人間には絶対になりたくないですね。

私はそれを世界で最も醜いものだと思っています。

常に半歩先を走って、一緒に汗を流し、一緒に泣き笑いたいですね。

臨時開校

明日の13：00～

日曜日の13：00～

臨時開校します。

先生は授業を入れてないので、自由に質問してください♪

今年度は大学受験（推薦入試）と中学受験が全員合格していて、高校受験も全員合格させたいって下心もありますが（笑）それ以上に今年の中３は本当によく頑張ってるから力を貸してあげたいって気持ちの方が大きいです。

さっき、「明日開校するよ」って伝えた時の中３生の「やった～」って反応を見て確信しました。

この子らは間違いなく合格します！

別解のすゝめ

久しぶりに授業のホワイトボードの写真を載せます。

中３の公立高校入試対策数学です。

問題は2018年数学　大問3（ア）

教育委員会の発表によると、この問題の受験生の正答率は2％だったそうです。

数学の成績4が取れてれば、普通に解ける問題だとは思います。

ではまずは一般的な解き方。

平行線と比の問題は補助線が必要になる。鉄則として平行四辺形の辺に平行な線を内部にのみ引いていいと教えます。

では実際のホワイトボードです。

補助線FIさえ引いてしまえばあとはなんてことのない問題です。

しかし、私の考えですが、補助線FIを引く根拠がちょっと弱い。

GHを求めるのに必要な相似な三角形で⊿FGIを想像するのに、ちょっと無理があるのは

①⊿DAEと⊿DGHが相似でまだ使ってないヒントのDF:FV＝2：1をどう使うか

②長方形ABCDの辺に平行な補助線を引く

この２点に於いて、根拠なくFIを引いて、結果論としてGIが出た時にGI+IDに気が付く。

だからこそ正答率2％だったのでしょう。

ではタイトルにもある別解…を載せる前に、なぜ別解を薦めるのか。

これは、私の指導哲学の一つ「問題を解くことをメインにせず、解く過程で学力を高める」という部分にあります。

あくまで問題は学力向上の手段であり、正解不正解は２の次なのです。

先生は生徒が正解した（間違えた）ことをきっかけに色々な指導ができます。

生徒ももちろん平時から別解学習をしていると、思考力が急激に伸びます。

ちなみに新指導要綱を考えると、この別解学習は大学入試にも相当な効果を発揮すると確信しています。

その辺は今年度の共通テストの総評後編で述べたいと思います。

ではもったいぶりましたが、別解を載せます。

私はぜひ高校生に見てほしい。

そして私の別解が自分の思ってたものと違う事を理解してほしい。

そうです。関数で解いてます。

なぜ関数で解いたかというと

①長方形だったので座標を当てやすい

②直交する直線がこの問題のキーになる

という事で直線EDをＹ＝1/3Ｘ+1

直交する直線FGの傾きは-3になるため、Ｆ点（2,0）座標があればあっさり点Ｈも点Ｇも求められるわけです。

ここで唯一問題としては「グラフの直交条件」は公立中学校の教科書では教えないという事。

しかし、別にむずかしい知識ではないので私は中２時点で教えちゃいます。

これは塾の指導テクニック、特に私の様に大学受験指導まで行ってる先生だからの技です。

（マル秘テクを大公開しましたが、この程度は私の技術の末端なので出し惜しみしません。笑）

これで最初の解き方で弱かった根拠が、最初から「三平方の定理で長さを求めるからGとＨの座標を求める」

この１点に向かって進む解答が完成しました。

ちなみにこの「平面図形の問題に座標を当てて関数化」は高校生でも大活躍。

過去の日本大学の入試問題（理系）でこの手法を使って生徒に、高校数学を使わず三平方と１次関数だけで解いて見せたことがあります。

解答が全てと思っている子供たち！

それは大きな間違いです。

ちなみに高校入試過去問をだしている「声の教育者」「東京学参」「新教育」の解説も正しいけどスマートではないものも多い

大学入試の赤本は正直？？ってのもある。

青本は隙が無い。さすが駿台。

中学受験終了

今年も中学受験が終わりました。

中学受験、高校受験、大学受験でやはり一番大変なのは中学受験ですね。

それゆえに私は毎年ひと学年５名までしかお預かりしないことにしてます。

（志望校とか関係なく、先着です）

今年の結果は…５名中５名合格！！

第一志望合格　１名

第二志望合格　４名

最終日まで戦いました。

さてこの勢いで高校受験も全勝といきますか♪