脱「解き方」②

先日に続き、脱「解き方」
今日は数検出版の4プロセスに掲載の問題から。

直線Ｙ＝Ｘ+Kが円（Ｘ+3）²+Ｙ²＝9で切り取られる線分の長さが2√7になる時のKの値を求めよ。

解き方を３パターン掲載します。
①この章で求められている解き方
②円の作図さえできれば、あとは中学生の知識で解ける解き方
③解き方が思いつかなかったから計算でゴリ押しした解き方。

では、まずは作図から。

この作図の際、点（-3，0）を通り、傾きが-1の直線を作図できないと解き方①と解き方②は使えません。
この作図能力は大事ですね。

円に中心と２点が存在するので「二等辺三角形がある」→底辺の垂直二等分線を引く

この発想が無い場合、圧倒的に勉強不足です。日ごろから作図をする訓練をしましょう。
ということで、解き方①と解き方②用の作図です。

AB=2√7なので、AH=√7
OAは半径なので3
三平方の定理よりOH＝√2


ここまでは解き方①と解き方②は共通です。

ではここから分岐して解き方①です。
点と直線の距離の公式を使って
（-3，0）と直線Ｘ-Ｙ+Ｋ＝0の距離が√2であればいいので

｜-3+Ｋ｜/√2＝√2

｜-3+Ｋ｜＝2

Ｋ＝5、1


解き方②
傾きが-1の直線OHはX軸との角度が45°になるため、長さが√2ならば
点Ｈは（-4，1）または（-2，-1）であることが分る。

これを
直線Ｘ-Ｙ+Ｋ＝0に代入してK=5、1

ではOHを作図できなかった場合の解き方③に行きましょう。
この問題の急所であるOHがわからない
つまり、「解き方がわからない」状態で解くという事です。


まずは交点なので連立しちゃいましょう。
（Ｘ+3）²+（Ｘ+Ｋ）²＝9
2Ｘ²+2（3+Ｋ）Ｘ+Ｋ²＝0

解の公式より
Ｘ＝{-（3+Ｋ）±√-Ｋ²+6Ｋ+9}/2
ここでＹを求めて三平方の定理ってのは現実的に相当計算が複雑になりますね。
でも頑張れば出ます。
しかし、ここでは簡単な解き方を。
まずは２点間の距離を、Ｘ座標の距離に置きなおしましょう。

Ｘ座標の距離が√14ということになりました。
交点のＸ座標をそれぞれα、βと置いて（α＞β）
α-β＝√14
（α+β）²-4αβ＝14

ここで解と係数の関係より
α+β＝3+Ｋ
αβ＝Ｋ²/2
これを代入して

9+6Ｋ+Ｋ²-2Ｋ²＝14
-Ｋ²+6Ｋ-5＝0
（Ｋ-5）（Ｋ-1）＝0
K=5、1

できましたね。

これで多少はお分かりいただけたと思いますが、「解き方」は１つではない。
だから、様々なアプローチの方法を常日頃から模索しておくべきでしょう。

日ごろの数学の問題を解くときに、その問題にフォーカスしすぎることなく、その問題を使って数学の思考の勉強をしていくイメージですね。