脱「解き方」②

先日に続き、脱「解き方」
今日は数検出版の4プロセスに掲載の問題から。

直線Ｙ＝Ｘ+Kが円（Ｘ+3）²+Ｙ²＝9で切り取られる線分の長さが2√7になる時のKの値を求めよ。

解き方を３パターン掲載します。
①この章で求められている解き方
②円の作図さえできれば、あとは中学生の知識で解ける解き方
③解き方が思いつかなかったから計算でゴリ押しした解き方。

では、まずは作図から。

この作図の際、点（-3，0）を通り、傾きが-1の直線を作図できないと解き方①と解き方②は使えません。
この作図能力は大事ですね。

円に中心と２点が存在するので「二等辺三角形がある」→底辺の垂直二等分線を引く

この発想が無い場合、圧倒的に勉強不足です。日ごろから作図をする訓練をしましょう。
ということで、解き方①と解き方②用の作図です。

AB=2√7なので、AH=√7
OAは半径なので3
三平方の定理よりOH＝√2


ここまでは解き方①と解き方②は共通です。

ではここから分岐して解き方①です。
点と直線の距離の公式を使って
（-3，0）と直線Ｘ-Ｙ+Ｋ＝0の距離が√2であればいいので

｜-3+Ｋ｜/√2＝√2

｜-3+Ｋ｜＝2

Ｋ＝5、1


解き方②
傾きが-1の直線OHはX軸との角度が45°になるため、長さが√2ならば
点Ｈは（-4，1）または（-2，-1）であることが分る。

これを
直線Ｘ-Ｙ+Ｋ＝0に代入してK=5、1

ではOHを作図できなかった場合の解き方③に行きましょう。
この問題の急所であるOHがわからない
つまり、「解き方がわからない」状態で解くという事です。


まずは交点なので連立しちゃいましょう。
（Ｘ+3）²+（Ｘ+Ｋ）²＝9
2Ｘ²+2（3+Ｋ）Ｘ+Ｋ²＝0

解の公式より
Ｘ＝{-（3+Ｋ）±√-Ｋ²+6Ｋ+9}/2
ここでＹを求めて三平方の定理ってのは現実的に相当計算が複雑になりますね。
でも頑張れば出ます。
しかし、ここでは簡単な解き方を。
まずは２点間の距離を、Ｘ座標の距離に置きなおしましょう。

Ｘ座標の距離が√14ということになりました。
交点のＸ座標をそれぞれα、βと置いて（α＞β）
α-β＝√14
（α+β）²-4αβ＝14

ここで解と係数の関係より
α+β＝3+Ｋ
αβ＝Ｋ²/2
これを代入して

9+6Ｋ+Ｋ²-2Ｋ²＝14
-Ｋ²+6Ｋ-5＝0
（Ｋ-5）（Ｋ-1）＝0
K=5、1

できましたね。

これで多少はお分かりいただけたと思いますが、「解き方」は１つではない。
だから、様々なアプローチの方法を常日頃から模索しておくべきでしょう。

日ごろの数学の問題を解くときに、その問題にフォーカスしすぎることなく、その問題を使って数学の思考の勉強をしていくイメージですね。

脱「解き方」

私が先生をやっていてもっともよく生徒から聞く言葉
「先生、解き方がわからない」
この時生徒はほとんどが「１つの解法があって、それがわからない」という意味で言ってます。

この「解き方」という発想を抜け出さねば、初見問題に対応することが難しくなっていくでしょう。

今日は数学ⅠAの図形と方程式の問題を
①高校１年生の解き方
②中学３年生の解き方
③中学受験生（小学生）の知識を使って解く解き方
で解いて行きます。

河合出版から販売されている「理系数学の良問プラチカ」から

（このテキストかなり秀逸です。受験生は絶対に購入して解ききりましょう！）

平面上の３点　O（０，０）　A（４，８）　B（－２，１１）を結んでできる⊿OABを点P（１，２）を通って面積を２等分する直線の方程式を求めよ。

まず、作図ですね。
これをしないと絶対にダメです。

点Pは直線OP上にある事がわかりました。
点Pを通って面積を２等分する直線と直線ABの交点を点Ｑとします。

では①の解き方から

⊿OABの面積は1/2AB・AO・sin∠OAB
⊿PAQの面積は1/2AＱ・AＰ・sin∠ＰAQ

ここで
sin∠OAB＝sin∠ＰAQ
AP=3/4AO
なので

⊿PAQの面積は1/2AＱ・3/4AO・sin∠OAB
＝3/8AQ・AO・sin∠OAB

⊿OAB＝2・⊿PAQより

1/2AB・AO・sin∠OAB＝2・3/8AQ・AO・sin∠OAB
1/2AB・AO・sin∠OAB＝3/4AQ・AO・sin∠OAB
1/2AB＝3/4AQ
AQ＝2/3AO


A（４，８）　B（－２，１１）を2：1に内分する点Qは（０，１０）となり
直線ＰＱはY=-8X+10


②の解き方は
等積変形を使います。作図はこうなります。

⊿OABと面積の等しい⊿PARを作図して、ARの中点と点Ｐを通る直線を求めましょう。
まずは等積変形パートです。
直線ＰＢの式はＹ＝-3Ｘ+5
したがって直線ORはＹ＝-3Ｘ
直線ABはＹ＝-1/2Ｘ+10
直線ORと直線ABの交点Rは連立の解で（-4，12）

点Rが求まれば後は簡単ですね。
点ARの中点Ｑは（0，10）
直線ＰＱはY=-8X+10

どうでしょう？中学生でも解けますね。
１次関数しか使っていません。


最後に③
これはあくまで中学受験の知識を使うだけであって、小学生に解けるという意味ではありません。



点Qがどこになるかわからないので仮の線を引きました。
Ｙ軸の色を薄くしたら見やすくなりましたね。
⊿APQの面積は⊿APQの面積のAP/AO×AQ/AB倍となります。
したがって、3/4×□＝1/2
□＝2/3
AQ/AB=2/3
AQ：AB＝2：3
AQ：QB＝2：1
したがって点Qは（0，10）
直線ＰＱはY=-8X+10

どうでしょうか？
どれでも解けましたね。
解き方はまだまだ考えられます。
（注：プラチカには解き方①しか掲載されていません。）




つまり、この問題に決まった解き方なんかないのです。
私は高校生には常にこんな授業を展開してます。
必ず解答に載っている解き方しかできないと思い、一生懸命その解を覚えていたんじゃ、初見問題に挑むこと（大学受験を受ける事）は出来ないでしょう。

昔から「１冊の教材を徹底してやる」とか言われますが、私はあまり賛成できません。
その問題集の解き方に寄った知識しかつかないから。
個人的には「大学への数学」の美しい解法が好きです。
しかし、「チャート式」の堅実な解法が全て頭に入っていて初めていえる事でしょう。
欲を言えばそこにZ会の「チェック＆リピート」そして今回紹介させていただいた「プラチカ」を完遂して、その解法の差を感じれたとき初めて大学受験へ挑む準備ができたと言える気がします。
と考えると、先は長いですね。
絶対に１年では完遂できません。

脱「解き方」
挑んでみてはいかがでしょう。

思考力ってどうやって鍛えよう

大学入試改革があと２年後に迫り、同時に中学校高校の教科書改訂も行われます。
新指導要領の柱となる「思考力」
私の教室でも国際算数・数学能力検定協会主催の「算数・数学・思考力検定」を始めようかなとも考えています。

では思考力ってどうやって鍛えればいいんでしょう？

まず、私が指導をしていて感じる事は、本当に今の子供たちは「考えない」
よくある質問に「先生解き方がわかりません」
この「解き方」というものが、子供たちの思考力を奪っていくのかなと考えています。
「答えありき」でゴールまでが１本である事に抵抗感が無い。
新たな解の創造が産まれず、解き方がわからない時点で思考停止する子が増えています。

原因は子供たちの遊び方にあると私は考えます。
今の子供たちは、「答えありき」の遊びばかりしていて、すぐに「説明書」「攻略本」を求めます。
加古里子さんの著書『伝承遊び考』を読んでみると、昔の遊びが如何に思考力を要し、子供たちが遊びの中から工夫して新たな遊び方を創造していったかがわかります。
野原で遊んでいたころから、公園に遊具ができ、高さが生じて「高鬼」がうまれたり、遊具の色から「いろ鬼」がうまれたり、昔の子供はとにかく遊びを工夫したものです。
そういったものが「思考力」の源になるのではないかと思います。

とはいっても、なかなかそういったものは個人の努力で変わるものではないですね。
小学生から塾通いの昨今、公園で暗くなるまで遊んで…なんてことはなかなか難しくなってきましたね。

ではせめて、学習において「考える」事を、なるたけ低学年から行う癖をつけるべきでしょう。
私は常々、公式は証明しないと使ってはいけないと言っています。
明日あたりに、この辺のことは詳しく問題を使って書きますね。

例えば、小学生で速さを習います。
「み・は・じ」とか「き・は・じ」とかで習いますね。
これを「暗記」とするのがよくないですね。

今日行った授業で生徒に教えた事なのですが
問題は「分速250.4mは時速□km」という問題。
基本的には比の考え方で考えていきます。

Willの授業はこうなります。
「分速250.4mってどういう意味なのかな？」

これを正確に答えられる子があまりにも少ない。

「１分間に250.4ｍ進って事だよ」
と説明すると、勘のいい子は、「わかった！」と答えます。
実際今日の生徒はここで答えにたどり着きました。

もしわからなかったら、次に
「１分間に250.4ｍ進ってことは、２分間で何ｍ進のかな？」
と質問したでしょう。
これこそ、「み・は・じ」の「速さ×時間」の概念なんですが、基本的には比の関係ですよね（数式にすると比例の式ですしね）

もし、ここで500.8ｍまでわかって答えがわからなければ
「10分間で何ｍ進のかな？」と問います。
速さの公式の意味を正しく理解するまで徹底して考えさせます。

こうして公式を丸暗記するのではなく、その公式でやってる意味を理解することができます。
「なんでその公式で答えが出るかわからないけど、正解するからそれでいい」という状態を是としないことが大事な事なのです。

簡単な問題だからこそ、思考する。
思考力を鍛えるのに特別な訓練は必要ないと思います。
それは誰かが考えたプログラムだから、結局は思考せず、そのプログラムに乗っかって身を任せる形になるからです。
目の前にある事を多面的に考えてみる（工夫して捉える）ことこそ「思考力」の養成になるのではないでしょうか。

それでは、明日高校数学を題材に「中学生でも解ける方法」「中学受験の知識だけで解く方法」を紹介しますね。

合格体験記①

そろそろ、今年度の受験の合格体験記を掲載していこうと思います。



第一弾は指定校推薦を勝ち取った子の体験記です。
この子は中学校２年生から５年間ウィルに通った子です。
高校では吹奏楽部に所属し多忙な中、何とか時間を捻出して週１回の通塾で学年トップクラスの成績を維持し、推薦をもらいました。

個別ゼミWill鷺沼校では毎年6～7割の子が指定校推薦・AO入試での大学合格を決めています。
今年も多くの推薦合格者を出しました。
さて、現高校２年生の諸君、先輩に続くぞ！





荏田高校M・Nさん　専修大学（指定校推薦）

私は中２の時にウィルに入塾しました。

 私が指定校推薦で大学に進学することができたのは、この塾に通い続けた結果だと思っています。

私は高校に入学してすぐに吹奏楽部に入部しました。

 部活動は週６日ととても大変でしたが、定期テスト前の部活動停止となる期間は毎日塾に通い自習室で自習をしていました。

 高校３年生で部活動を引退すると、その頃は授業も４時間授業で終わる日がほとんどで、午後２時ころから塾に入って勉強していました。

 私は中学生のころから、家庭学習はほとんど塾で済ませました。
ウィルはお昼から勉強に行けるのが私にとっては大きな魅力でした。

 家で勉強しているとたくさんの誘惑があり集中できないことが多いと思います。

授業ではなく自習時間であっても数学などでわからない問題があれば、質問しにいけるので、勉強もはかどりました。

 他の受験生の子もたくさん居たので自分も頑張ろうという気にもなれましたし、教室に行くといつも塾長先生が部活の事や学校の勉強のことを聞いてくれて、安心できました。

 高校に入って私の様に忙しい部活動に入部して勉強する時間が無いと思うような人も居るとは思いますが、１時間でも30分でもウィルに行く習慣をつけることができれば、成績は良くなると思います。

そういった学習習慣が私を大学合格へ導いてくれたと思っています。

有馬中の定期テストを予想

さて、入試も終わったばかりですが、次の世代がすぐに始まります。
まずは、学年末テスト。

それでは有馬中の中２数学の予想を少し書きます。

テスト範囲に、「15cm程の定規を持参」とあります。
常識的に考えたら「１次関数のグラフの作図」です。
テスト範囲を考えても間違いないでしょう。
絶対に不正解にならないように準備しましょう。

特別な四角形に関しては三角定規が２本必要なんで、その作図は無いでしょう。

念のため、簡易的な作図線で出題された場合の等積変形だけは要チェックですね。
有馬中の過去問５年分を見て推測するに、面積の等しい三角形はどれか書かせる問題が本命でしょうが、難問になりがちな２問もついでに掲載しておきますね。

頑張れ有中生！

大学入試 合格報告 続々と

さて大学入試も中盤戦
全学部入試の合格発表が出始めました。
定員厳格化がどのくらい影響を及ぼすかなとみてましたが、そこまで大きな変化もなく、模試の結果を信じて進路指導しておけば大丈夫かな～って結果です。

今週は日大理工学部（全学部）と青山学院法学部（全学部）で合格が出ました。
全学部入試で合格出ると、その一つ上の偏差値の大学の合格が見えてくるので、ちょっと安心。

さて今週末から早慶が始まる！
公立高校受験は終われど、私の受験指導はまだ終わらず！
さて、もうひと踏ん張りするか。

神奈川県 公立高校入試（数学）

さて入試が終わりました。
一通り解いてみましたが、難易度は例年並み。
ただ１点、例年になく「パターン化」で解けない問題が増えましたね。
これは、文部科学省が推進する「思考力」「判断力」「協働性」のうち、「思考力」をしっかり問う問題になってきた証かもしれません。
今後、この傾向が強くなるなら、集団塾より個別指導塾にアドバンテージが出てきますね。
なにせ、個別指導塾の先生は日ごろから東大や東工大、早慶の超難問数学を指導するので、必然的に思考力を養う授業をしていて、パターン化指導の限界を感じて中学生にも、もちろん小学生にも「思考力」を養成する形で授業を行っているからです。

では、今日は数学に関して。
色々なところで難化が囁かれていますが、決してそんなことはありません。
ただ、前半の問3（イ）問４（ウ）の２問のみ難化しています。
特に問3（イ）が例年の出題パターンから外れたため、ここで時間を使ってしまい、全体的に解く時間が無くなり、難しくなったと印象を残したかもしれません。

では解説を載せておきます。

左側の1：1に引っ張られてしまいがちですが、この問題は平行線と線分比の問題。
Cを頂角とした図に置きなおすと、見やすくなるのではないでしょうか。

では補助線を加えましょう。平行線以外を入れるとゴチャゴチャになるので、基本は平行線を追加です。その中で考えましょう。
そうすると点Fと点Eを通るABに平行な線が出てきますね。
ついでに相似の三角形も色分けしておきますね。

この相似を利用すれば、ＤＢがＤ側から６：４：５：５：１０に分けられることが分ります。

最後にEHを結んで四角形EGHFを３つの三角形に分けて、各々をSを使って求めれば完成です。
4/9Ｓ+5/9Ｓ+15/18Ｓ＝33/18Ｓとなり
Ｓ：Ｔ＝18：33となります。

では次に問4（ウ）
スペースの問題で（ア）（イ）は解きませんが、その数値とその過程で出てくる数値をそのまま使いますので、（ア）（イ）は自力で解いたのちに見てください。

（イ）がいつもより1クッションだけ計算が多くなっていて困った子もいたのかな？？


「高さが斜めの図形の面積は等積変形」
この基本で解ける問題です。
等積変形後の図形がこんな感じです。

四角形ADBFを等積変形した三角形BDSの底辺SDは14/3-（-1/3）＝5となるため
三角形ＢＤGを等積変形した三角形BDTの底辺も5となる。
したがって、-1/3-5＝-16/3
Ｔ座標は（-3,-16/3）

等積変形のために作図した直線TGは直線ＤＢに平行なので、傾きは5/9
したがって直線ＴＧの式はＹ＝5/9Ｘ-11/3

点Ｇは直線ＴＧと直線①Ｙ＝-Ｘとの交点なので
5/9Ｘ-11/3＝-Ｘ
14/9Ｘ＝11/3
Ｘ＝33/14

この２問を解けなかった生徒で、多摩高校以上の偏差値の学校に合格した子は合格後すぐにでも塾に通うことをお勧めします。
おそらく、解法を丸呑みして、ものすごい努力で進学できたのでしょう。
しかし、その方法は高校数学は一切通用しないでしょう。
「あれ、ついて行けない」と思ってからでは手遅れです。

これからの学習は「思考力」
「解いたことある」という根拠で解くのではなく
問3であれば、面積だから相似利用→相似が見つからないから補助線
問4であれば、高さが斜めになってしまうから等積変形
こういった、解くための根拠をしっかり持って解く練習が必要ですね。

いざ！公立高校受験！

ついに明日、公立高校入試です。
今年もやりきった。
厳しい事もたくさん言ったな。
課題もたくさん出したし、小テストは毎日やらせた。

本当にみんなよく頑張りました。
これで落ちたら私が悪い。

そう思えるほど、みんなよくついてきてくれた。

明日入試が終わったら、まず教室に来よう！
面接点は10点差で入試の25点差に相当します。
まだ終わってない！

大学入試速報

一般入試の合格第一号出ました。

成蹊大学。

滑り止めではありますが、毎年第一号が出るまでちょっと重たい雰囲気なんで、良かった良かった。

人生初の

とても嬉しいニュースがあります。
受験は関係ないのですが。笑。

実は今年の５月に私の教え子が結婚します。
しかも、新郎新婦共に私の教え子です。
私も塾講師キャリアは10年を超えているので、結婚してる教え子は数多く居るでしょう。
しかし、教え子同士っていうのは初ですね。
個別指導塾ではなかなか10年以上も同じ教室で同じ教室長が居る事は珍しいのですが、そんな機会を与えてくれた弊社の社長にも感謝です。

新婦の子は中３でウィルに入塾し、大学受験も私の元でチャレンジ。その後大学に進学し４年間講師のアルバイトをしてくれた子です。

新郎の子は高校３年生の春に入塾し、同じく大学受験を経て講師のアルバイトをしてくれた子です。

新婦の子は中高一貫私立の子だったため、２人は生徒時代は全く接点がありませんでした。
講師を始めて２年くらいでお付き合いを始めたのかな。
大学卒業して３年。ついに結婚する次第となったそうです。

２人の縁に少しでも関われたことを心から幸せに思います。
乾杯のあいさつを任されてので、全力で挑みたいと思います。

臨時開校のお知らせ

通常祝日でお休みのところ、2/11（月）は16：10～21：30で開校します。

受験生の皆さん、しっかり自習に来ましょう♪

公立高校倍率

菅高校と百合丘高校で倍率が1.0を下回っています。

これで「ラッキー」とか思ったら落ちます。

出願変更がここからあります。
菅なら新羽（1.19倍）生田東（1.10倍）
百合丘なら川崎北（1.48倍）麻生（1.12倍）からの出願変更も十分に考えられます。
ここで出願変更後、1.0倍を超えた時、一度ゆるんだ気持ちはそこから立て直しは不可能でしょう。

そして何より、高校に合格することが高校受験の最大の目標ではないのです。
この高校受験を通して「強く」なる事が最大の目的です。
楽して合格することに何の価値もありません。
もちろん、私立単願で合格を勝ち取っている子は、内申点という努力が結実した結果なので価値のある合格です。

気を緩めることなく、必死にやりましょう。
あと１週間です。
ここからは焦って何をやって良いかわからなくなりがちです。
先生に相談の上、１日の計画をしっかり立てましょう。

中学受験 終了

中学受験が終わりました。

今年は１名しか受験者がおりませんでしたが…
３日目にして合格を勝ち取ってきてくれました！！

１日目不合格が出て、それでも塾で４時間くらい、その日の入試問題の直しと類題演習をして帰って行きました。

もうその時点で私には「３日目まで行くことを覚悟して、気持ちを切らさないようにね」としか言えない状況でした。

よくぞ踏ん張って３日目まで頑張った！
２日目からは午前午後と入試を受けてさぞ疲れたろうに。
夜に不合格の確認をした時は、さぞ悔しかったろうに。
それでも３日目に受験会場に行っただけでも私は褒めてあげたい。
まだ精神的にも幼い小学校６年生の子が、そんな思いをしても最後まで受験に向き合った事を。

合格は頑張ったご褒美だね♪
今日は今まで我慢してきたこと、全部やっちゃいな。
あと２週間くらいならお父さんもお母さんもわがまま全部聞いてくれるさ。笑。


私は現在進行形で大学受験5名と臨戦態勢です。
毎日受験もあり、来週あたりからは合否発表も始まります。
公立高校受験はあと10日…
何年塾の先生をやっていても慣れませんね。
私はかなり背負ってしまうタイプなんで、あまり向いてないのかもしれません。

もうなるようにしかならない時期ではあります。
各々に課題は出しています。
短い期間で成果を出す方法は、私は熟知しております。
不安を口にするなら、塾に来て手を動かそう！
中３生は今週は暗記小テスト地獄です。